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By Ehrhard Behrends

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Wir beginnen mit der Vorgabe eines x0 ∈ M und eines ε > 0. Unser Ziel: Es gibt ein x ∈ On mit d(x0 , x) ≤ ε. Dazu betrachten wir als metrischen Raum die abgeschlossene Kugel K := Kε (x0 ) mit der von M geerbten Metrik. Da K abgeschlossen ist, liegt wieder ein vollst¨andiger metrischer Raum vor; K ist auch nicht leer, denn mindestens x0 geh¨ort dazu. In dem neuen metrischen Raum sind die Mengen On := On ∩ K offen und dicht, das ist leicht einzusehen. 4. VOLLSTANDIGKEIT: FOLGERUNGEN 45 On = ∅, und damit ist wirklich die Existenz eines haben, On = K ∩ Elementes x ∈ On mit d(x0 , x) ≤ ε gezeigt.

2. Kategorie (iii) A heißt von zweiter Kategorie, wenn A nicht von erster Kategorie ist. Bemerkungen und Beispiele: 1. Mengen, die nirgends dicht sind, sind im folgenden Sinn wirklich klein“: ” ¨ Selbst wenn man sie durch Ubergang zu A− vergr¨oßert, findet man kein x und − kein ε > 0, so dass Kε (x) ⊂ A . So sind endliche Teilmengen von R nirgends dicht, aber auch N und die abgeschlossenene Menge {0} ∪ {1/n | n = 1, 2, . }. 2. Abz¨ ahlbare Vereinigungen solcher kleinen“ Mengen k¨onnen schon wesentlich ” umfangreicher sein.

Es folgt f¨ ur diese x |f (x) − f (x0 )| ≤ ε/3 f¨ und n ≥ n0 : |fn (x) − fn (x0 )| ≤ |fn (x) − f (x)| + |f (x) − f (x0 )| + |f (x0 ) − fn (x0 )| ε ε ε + + ≤ 3 3 3 = ε. ucksichtigen: W¨ahle ein Nun sind noch die fn mit n < n0 zu ber¨ positives δ , so dass |fi (x) − fi (x0 )| ≤ ε f¨ ur i = 1, . . , n0 − 1 und d(x, x0 ) ≤ δ . Mit δ := min{δ , δ } ist dann ein f¨ ur alle fn zul¨assiges δ gefunden. Bevor wir das Hauptergebnis formulieren, beweisen wir zun¨achst zwei Lemmata. Das erste besagt, dass auf kompakten R¨ aumen jede gleichgradig stetige Menge sogar gleichm¨ aßig gleichgradig stetig ist.

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