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Ist σ ∈ g, so erhalten wir a = σa = στ dτ = τ ∈G στ dστ , τ ∈G und wegen der Eindeutigkeit ist dτ = dστ . Hieraus ergibt sich die Darstellung a= τ σdτ σ = τ σ∈g τ( τ σdτ ) = σ∈g τ Ng (dτ ), τ wobei τ ein Linksrepräsentantensystem von G/g durchläuft. Ag ist also in der Tat G/g-induziert. 12) Definition. Wir sagen, ein G-Modul A hat triviale Kohomologie, wenn H q (g, A) = 0 für alle q und alle Untergruppen g ⊆ G ist. 13) Satz. Jeder G-induzierte Modul A hat triviale Kohomologie. § 3. Die exakte Kohomologiesequenz 31 Beweis.

Eine besondere Klasse solcher G-Moduln sind die G-induzierten Moduln, die wir im folgenden zu vielen Beweisen und Definitionen heranziehen werden. 9) Definition. Ein G-Modul A heißt G-induziert, wenn er sich als direkte Summe A= σD σ∈G mit einer Untergruppe D ⊆ A darstellen lässt. Insbesondere ist der G-Modul ZZ[G] = σ∈G σ(ZZ·1) G-induziert, und es ist sofort klar, dass sich die G-induzierten Moduln einfach als die Tensorprodukte ZZ[G] ⊗ D mit beliebigen abelschen Gruppen D darstellen. Fassen wir nämlich D als trivialen G-Modul auf, so erhalten wir den G-Isomorphismus ZZ[G] ⊗ D = ( ZZσ) ⊗ D = σ∈G ZZ(σ ⊗ D) = σ∈G σ(ZZ ⊗ D).

2) definierten übereinstimmen muss. Es kommt nun darauf an zu zeigen, dass die durch (∗) definierten Abbildungen ∪ H p (G, A) × H q (G, B) −→ H p+q (G, A ⊗ B) tatsächlich den Forderungen (ii) und (iii) genügen. Seien dazu die exakten Sequenzen 0 −→ A −→ A −→ A −→ 0, 0 −→ A ⊗ B −→ A ⊗ B −→ A ⊗ B −→ 0 bzw. 0 −→ B −→ B −→ B −→ 0, 0 −→ A ⊗ B −→ A ⊗ B −→ A ⊗ B −→ 0 gegeben. 2) exakten Sequenzen q 0 −→ Aq −→ A −→ A q q −→ 0, 0 −→ (A ⊗ B) −→ (A ⊗ B) −→ (A ⊗ B)q −→ 0 bzw. q 0 −→ B p −→ B p p −→ B p −→ 0, p 0 −→ (A ⊗ B) −→ (A ⊗ B ) −→ (A ⊗ B )p −→ 0 , und wir kommen zu den Diagrammen H p (G, A ) × H 0 (G, B q ) ∪ H p (G, (A ⊗ B)q ) (δ,1) q (1,δ ) H p+1 (G, A) × H 0 (G, B q ) H p (G, A ) × H q (G, B) (δ,1) ∪ (1,δ q ) ∪ H p+1 (G, (A ⊗ B)q ) H p+1 (G, A ⊗ B) H p+1 (G, A) × H q (G, B) 14) δ (−1)p·q δ q (−1)(p+1)·q δ q δ ∪ H p+q+1 (G, A ⊗ B) Man beachte, dass mit bq (σ1 , .

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