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By Kristina Reiss

Kenntnisse über den Aufbau des Zahlensystems und über elementare zahlentheoretische Prinzipien gehören zum unverzichtbaren Grundwissen in der Mathematik. Das vorliegende Buch spannt den Bogen vom Rechnen mit natürlichen Zahlen über Teilbarkeitseigenschaften und Kongruenzbetrachtungen bis hin zu zahlentheoretischen Funktionen und Anwendungen wie der Kryptographie und Zahlencodierung. Wert wird dabei auf eine verständliche und umfassende Darstellung des Stoffes gelegt. Beweisideen, die hinter stringent durchgeführten Beweisen stehen und die Verknüpfung von Fachwissen mit Schulbezügen sind dabei als besondere Merkmale hervorzuheben. Ergänzt wird die Darstellung durch viele Übungsaufgaben, die mit Lösungshinweisen und vollständigen Lösungen versehen sind.

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Die Abbildung auf Seite 27 zeigt diesen Brief. 28 2 Natürliche Zahlen Die Goldbach’sche Vermutung besagt, dass jede gerade Zahl, die größer als 2 ist, auf mindestens eine Weise als Summe zweier Primzahlen geschrieben werden kann. Für die ersten geraden Zahlen, die größer als 2 sind, lässt sich das auch leicht nachprüfen. Es ist 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 5 + 3, 10 = 5 + 5 = 7 + 3, 12 = 7 + 5, 14 = 7 + 7 = 11 + 3 usw. Diese Vermutung hat man inzwischen in dem Umfang geprüft, den derzeitige Computer meistern können.

4 Mengentheoretische Begründung von N . . . . . . . . . . . . . . . . . . Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 21 21 24 27 28 28 29 30 30 36 37 38 41 44 50 53 53 55 58 59 60 In diesem Kapitel stehen die natürlichen Zahlen im Mittelpunkt. Sie werden vor allem im Hinblick auf das Rechnen betrachtet. Dabei geht es nicht zuletzt darum, sich über eigentlich selbstverständlich scheinende Dinge Gedanken zu machen und sie nicht nur als gegeben hinzunehmen.

Dann gibt es nur endlich viele natürliche Zahlen, die kleiner oder gleich n sind. (Diese Aussage wird hier als evident behandelt wie auch der in ihr enthaltene Begriff „endlich viele“. Im Abschn. ) Sei M eine nicht leere, endliche Teilmenge von N. Dann lässt sich M in der Form M = {m1 , m2 , . . , mk } schreiben. Nun geht man folgendermaßen vor (und dieses Verfahren ließe sich genau so auf dem Computer programmieren, wenn die Anzahl k der Elemente nicht die Möglichkeiten des Computers übersteigt): Es sei zunächst m0 := m1 gesetzt.

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